Primzahllücken und hyperbolische Geometrie

2013 war er sowas wie der Satz des Jahres: der von Yitang Zhang gefundene Satz über die Beschränktheit der “Lücken zwischen Primzahlen”: er bewies, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand höchstens 70 Millionen gibt. (Die 70 Millionen wurden in den Monaten schnell weiter verbessert, ein Jahr später war man schon bei 246. Die Goldbach-Vermutung Twin prime conjecture besagt, dass man sogar Abstand 2 bekommen kann, es also unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.)

Ergebnisse über Summen und Differenzen von Primzahlen gelten ja immer ein wenig als Spielerei, weil sie keine wirkliche Bedeutung für die Zahlentheorie haben und es allenfalls die Methoden der Beweise sind, die sich auch in anderen Gebieten anwenden lassen. Insofern ist es bemerkenswert, dass ein gestern auf dem ArXiv erschienener Preprint jetzt eine Anwendung (einer mit ähnlichen Methoden bewiesenen etwas allgemeineren Fassung) der beschränkte Primzahllücken in der hyperbolischen Geometrie gibt.

Es geht um die Frage, inwieweit unterschiedliche hyperbolische Mannigfaltigkeiten dasselbe Längenspektrum haben können. (Mit dem Längenspektrum sind die Längen aller geschlossenen Geodäten gemeint, von denen es auf einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit unendlich viele gibt.) Die Vermutung ist, dass hyperbolische Mannigfaltigkeiten mit demselben Längenspektrum kommensurabel sein müssen, d.h. es eine gemeinsame hyperbolische Mannigfaltigkeit, die beide überlagert.
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Der Satz betrifft sogenannte arithmetische (mittels einer Quaternionenalgebra definierte) hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten M und die Autoren machen eine einschränkende Voraussetzung, nämlich: es gibt eine endliche Menge S von geschlossenen Geodäten in M, so dass für die Anzahl π(V,S) derjenigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten, für die die Längen der Geodäten in S mit der Länge der entsprechenden Geodäte in M übereinstimmen und deren Volumen kleiner V ist, \lim_{V\to\infty}\pi(V,S)=\infty gilt. Unter dieser Voraussetzung beweisen sie dann, dass es eine Konstante C gibt, so dass man unendlich viele nicht-kommensurable hyperbolische Mannigfaltigkeiten mit für Geodäten in S übereinstimmenden Längen und Volumenwerten in einem Intervall der Länge C hat.

Der Satz ist sicherlich ein bisschen exotisch und es ist nicht klar, für wieviele Mannigfaltigkeiten seine Voraussetzungen überhaupt erfüllt sind (und was er für die Frage nach nicht-kommensurablen Mannigfaltigkeiten mit gleichem Längenspektrum eigentlich bedeutet). Das bemerkenswerte ist aber sein Beweis, denn der benutzt die Beschränktheit der Primzahllücken (bzw. deren Verallgemeinerung für Primideale in Zahlkörpern) in gewissen Teilmengen der Primzahlen (Tschebotarjow-Mengen). Wahrscheinlich die erste Anwendung der Primzahllücken ausserhalb der Zahlentheorie.

Benjamin Linowitz, D. B. McReynolds, Paul Pollack, & Lola Thompson (2017). Bounded gaps between primes and the length spectra of arithmetic hyperbolic 3-orbifolds arXiv arXiv: 1705.08034v1

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